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By Robert White Linker

ISBN-10: 8449928095

ISBN-13: 9788449928093

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Étude Topologique des Applications Déviant la Verticale by Patrice Le Calvez PDF

Depuis Poincaré et Birkhoff pour comprendre los angeles constitution des
orbites d'un système hamiltonien à deux degrés de liberté au
voisinage d'une orbite périodique elliptique on est amené à étudier
les difféomorphismes du plan qui préservent l'aire autour d'un
point fixe elliptique. Dans le cas générique, on est alors amené,
à l'aide des formes normales à étudier une classe d'applications: les
difféomorphismes de l'anneau qui préservent l'aire et qui dévient
la verticale. C'est dans ce cadre que l'on déduit, parmi d'autres
propriétés, l'existence de courbes invariantes entourant le aspect fixe,
formant transversalement un ensemble de Cantor de mesure
positive dont los angeles densité have a tendency vers un quand on s'approche du aspect fixe,
et de régions annullaires d'instabilité bordées par ces courbes où se
crée une dynamique de style chaotique due à des intersections de
variétés stables et instables de issues périodiques hyperboliques.
Des méthodes variationnelles introduites indépendamment par
S. Aubry et J. Mather en 1980 ont alors permis de construire une
théorie des difféomorphismes de l'anneau qui préservent l'aire et
qui dévient l. a. verticale permettant entre autres de comprendre los angeles
dynamique des régions d'instabilité, ou d'étudier d'autres exemples
comme celui du billard convexe introduit par Birkhoff. On retrouve
ce kind de méthodes et de résultats dans d'autres systèmes
dynamiques conservatifs (voir V. Bangert [Ba] ou J. Moser [Mo 1, Mo
2])-
Il existe cependant des systèmes dynamiques où apparaissent
des functions qui dévient los angeles verticale mais qui ne préservent
pas l'aire. C'est pour cette raison que nous tâcherons d'expliquer
comment des méthodes topologiques permettent de retrouver les
principaux résultats du cas conservatif et ainsi d' étudier ces
applications, en particulier nous insisterons très peu sur les méthodes
variationnelles.
Dans un greatest chapitre nous donnerons une liste non
exclusive de systèmes dynamiques définis par des purposes qui dévient
la verticale, puis dans les deux chapitres suivants introduirons les
notions et les outils principaux de notre étude. Ainsi dans le
Chapitre 2 nous définirons les ensembles d'Aubry-Mather, esquisserons
la théorie variationnelle par une démonstration d'existence de ces
ensembles dans le cas conservatif, et donnerons enfin des critères
topologiques pour les obtenir. Le Chapitre three sera consacré à l. a.
théorie de Birkhoff, c'est-à-dire à l'étude des ensembles annulaires
invariants, que nous essayerons de généraliser. Les trois chapitres
suivants seront des conséquences de ce qui précède. Ainsi dans le
Chapitre four nous étudierons les functions proches de celles qui
sont conservatives et dans le Chapitre 6 celles qui sont dissipatives,
nous nous intéresserons en particulier aux attracteurs de Birkhoff.
Le Chapitre five sera consacré à l'étude des régions d'instabilité dans
le cas conservatif.
Ce qui go well with est l. a. rédaction d'un cours donné a l'IMPA (Insti-
tuto de Matemâtica Pura e Aplicada), Rio de Janeiro, au printemps
1988. C'est un grand plaisir de remercier le team of workers
scientifique et administratif de cet institut pour l'extraordinaire environment
mathématique et los angeles gentillesse de leur accueil.

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L. a. sclérose en plaques est une maladie inflammatoire du système nerveux imperative qui touche environ 60 000 personnes en France, avec 1 500 à 2 000 nouveaux cas par an. Les problems neuropsychologiques peuvent tenir une position importante parmi les symptômes de l. a. maladie, et leur traitement représente un enjeu very important dans l. a. prise en cost des sufferers.

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Los angeles France n'est pas malade de son trade extérieur, comme l'a soutenu pendant longtemps le scepticisme hexagonal. Bien au contraire même. Ces actes permettent de faire le element sur l. a. position de los angeles France dans le trade mondial.

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Lli, topo~ogique de base B, de groupe E est muni d'une structure d'espace G, de fibre type F si les structura~ conditions suivantes sont realisees : 1) II existe un recouvrement de B par des ouverts U. (qui 1 seront appeles ouverts distingues pour 11'1 structure fibree) et une famille fi de cartes locales, de sources Ui '" F, telles que les buts f. (U. X F) recouvrent E. 1 1 2) Ces cartes locales constituent un at~as c011lp~et de BX F r Bur E compatible avec Ie pseudogroupe G defini precedemment.

Every cthomoltgy olass of nr(K,Z) has a representative (e,w) with e defined (regular) and closed on I . This e is the form given by the de Rham theorem for a coho- mology class having integral periods on ordinary cycles . The form w giv~s us the opportunity of determining its values on the chai ns which are cycles mod p . 29 - 29 - 2. Any smooth olosed r-form on X is derivable from a smooth (r-l)-form with singularities lying on an (n-r)-oyole . 5. THE CASE OF A RIEMANN VETRIC . Suppose that our Xn is a smloth (or analytio) olmpaot manifold, oarrying a smooth (or analytio) Riemann struoture .

Th forms on the bundle S form n-r (X) of or- thonormal (n-r)-frames on X . hedron e(f r _1 ). Let Take any smooth (n-r+1)-frame, f be a smooth extension (x,e 1 , .. e ) defined on X except for a r n-r smooth (n-r+l)-subpolyhedron of e(f . ) . Then (r"n(r), f* l"'(r-l» r-l r · r- l' is a (Z,r) pair" on X and f The above is a congruence mod 2 when r is even and < n . For r = n, it is in fact our previous formula for the index of a unit vector field on Xn . 2. BASIC DEFINITIONS . We proceed t. l-N,n n ,n n ,n the Stiefel.

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by Kevin
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